Основное кинетическое уравнение
Основное кинетическое уравнение — феноменологическое уравнение, описывающее эволюцию системы во времени. Установлено В. Паули в 1928 году. Название «основное уравнение» — перевод термина англ. Master equation. Называется также производящее уравнение, управляющее уравнение, уравнение кинетического баланса. Иногда также называют уравнением Паули (не путать с уравнением Паули, являющимся обобщением уравнения Шрёдингера!).
Для процесса, не зависящего от прошлого системы (марковский процесс), основное кинетическое уравнение имеет вид:
- [math]\displaystyle{ \frac{dP_n}{dt}=\sum_{m\neq n} \left(w_{nm}\cdot P_m-w_{mn}\cdot P_n\right) }[/math].
где
- [math]\displaystyle{ P_m=\rho_{mm} }[/math] и [math]\displaystyle{ P_n=\rho_{nn} }[/math] — вероятности того, что система находится в состояниях [math]\displaystyle{ m }[/math] и [math]\displaystyle{ n }[/math], соответствующие диагональным элементам матрицы плотности [math]\displaystyle{ \rho }[/math];
- [math]\displaystyle{ w_{mn}=\mathrm{prob}(n\rarr m) }[/math] — вероятность перехода системы из состояния [math]\displaystyle{ n }[/math] в состояние [math]\displaystyle{ m }[/math] в единицу времени (скорость изменения вероятности);
- [math]\displaystyle{ w_{nm}=\mathrm{prob}(m\rarr n) }[/math] — вероятность обратного перехода системы из состояния [math]\displaystyle{ m }[/math] в состояние [math]\displaystyle{ n }[/math] в единицу времени (скорость изменения вероятности).
В общем случае, при наличии в системе эффекта памяти, её прошлое состояние оказывает влияние на будущее (немарковский процесс). В этом случае основное кинетическое уравнение имеет вид:
- [math]\displaystyle{ \frac{dP_n(t)}{dt}=\int\limits_{-\infty}^t\sum_m \left(w_{nm}(t-\tau)\cdot P_m(\tau)-w_{mn}(t-\tau)\cdot P_n(\tau)\right)\,d\tau }[/math],
где
- [math]\displaystyle{ w_{mn}(t-\tau) }[/math] — функция памяти системы.
Для системы с непрерывно распределённой случайной переменной [math]\displaystyle{ x }[/math], основное кинетическое уравнение определяет плотность вероятности [math]\displaystyle{ W(x,t) }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \frac{\partial W(x,t)}{\partial t}=\int \left(w(x,x^\prime)\cdot W(x^\prime,t)-w(x^\prime,x)\cdot W(x,t)\right)\,dx^\prime }[/math]
где
- [math]\displaystyle{ w(x,x^\prime) }[/math] — плотность вероятности перехода [math]\displaystyle{ x^\prime\rarr x }[/math] в единицу времени.
Примеры основных уравнений: